洛谷P1516：青蛙的约会

为什么选择这个题相信真正的粉丝早已看穿了一切

先看原题：青蛙的约会

题目描述

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

输入输出格式

输入格式：

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L

其中0<x≠y < =2000000000，0 < m、n < =2000000000，0 < L < =2100000000。

输出格式：

输出碰面所需要的天数，如果永远不可能碰面则输出一行”Impossible”。

去你🐎的数论

同余方程，纬线绕一圈可以绕回来，所以是能取模。阅读题目，经过颅内分析，可以得到同余方程：

$$x+tm≡y+tn(mod L)$$

然后可以通过Exgcd来求解。先转化为不定方程 ：

$$x+tm−y−tn=sL$$

整理得：

$$(m−n)t−Ls=y−x$$

设：

$$a=n−m,b=L,c=x−y$$

代入可得：

$$−at−bs=−c$$

即：

$$at+bs=c$$

因此我们先求解:

$$at+bs=gcd(a,b)$$

解得一组特解，转化成最小正整数解即可。

首先我们来想如何得到最小正整数解：

设答案为x，我们得到的特解为x0，则根据我们的公式一定有：

$$x0=x+k∗b/gcd(a,b)x$$

我们可以把它看做出发的形式，即：

$$x=x0取余(b/gcd(a,b))$$

所以我们的答案就是：

$$x取余(b/gcd(a,b))$$

那如果x≤0，那么为了防止爆负数，我们的答案是：

$$(x+(b/gcd(a,b))取余(b/gcd(a,b)$$

但是考虑一下b/gcd(a,b)与a,b的符号，

若a,b同号那没事，如果a,b异号且a<0,b>0，那么情况就有点麻烦了………

gcd(a,b)肯定小于0，而b>0，所以 b/gcd(a,b) 一定小于0，

因此按照这样的做法，答案不仅无法变成最小正整数解，反而更小了……

那么有没有一种方法来避免a<0,b>0这种情况呢？

考虑一下可不可以永远保持a为正数。

$$ax+by=c与−ax+by=−c的解是否完全一样？$$

乍一眼看不出来，可以转化为同余方程的形式，那么前者就能够变成：

$$c≡ax(mod b)$$

后者就能够变成：

$$ax≡c(mod b)$$

貌似是完全一样的，，，

因此当a<0时，a和c转换成相反数就可以了。

最后码的时候注意：

Long Long

代码：

数论题要什么代码，分析就行了。